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交流串联谐振电路
2022-01-06

本讲介绍交流串联谐振电路的以下内容。

• 共振条件。

• 交流串联电路中谐振的固有频率。

• 电流随频率的变化。

• 相位随频率的变化。

• 品质因数和带宽。

• 共振时电位差的放大倍数。

• 带通特性

串联谐振

谐振

当脉冲使系统振动时,它将以系统的固有频率振动。该频率取决于系统的结构。

当周期性振动使系统振动时,系统就会被迫以该频率振动。当受迫振动的频率与固有频率相同时,振动的幅度会大大增加。这种振幅的大幅增加称为共振。


交流串联谐振


在交流电中,当特定频率下的输出电位或电流大幅增加时,串联电路会产生谐振,如下图所示。


image.png

正如将要证明的,这种谐振发生在复阻抗为实数时,即电路变为纯电阻,电流与施加的电动势同相,功率因数为 1。


从电流开始。


image.png

右侧给出了所示串联电路中的电流。请注意通过将顶部和底部与复共轭相乘来合理化分母的方法。


image.png

该等式将给出类似于上述电位差示例的图表。



固有频率


当电路变为纯电阻时,复阻抗的虚部为零。

这确定了电路的自然角频率ω 0 rad.s -1,其计算方法如右图所示。

image.png

当施加的(或强制的)频率接近该值时,电路阻抗接近其最小值(R 的最小值)并且电流的幅度出现最大值。


电流与频率


各种负载电阻的电流与施加频率的关系图,显示了固有频率处的峰值


image.png

当电路电阻较小时,曲线图有较大的谐振电流和较窄的峰值。

当电路电阻大时,谐振电流小,峰值宽。

对于阻抗,该系数  使高频时电感部分变大,而低频时电容部分变大。


相位与频率


电流和施加的电动势之间的相位角名义上是负的,由下式给出:


image.png

共振时相位角为零,但在共振附近迅速变化。


image.png

在低频时,电容器将电流相位置于施加的电位之前。

在高频下,电感器将施加电位的相位置于电流之前。


品质因数和带宽


的品质因数, Q,是谐振峰的锐度(或选择性)的量度。

它是谐振频率与“带宽”的比率。


image.png

的带宽,Δω,是之间的差值的两个频率,其中由电路耗散的功率下降到峰值功率的一半。


image.png

带宽给出了耗散功率至少为峰值功率一半的范围。


image.png

半功率电流是峰值电流的 71%。


现在 

image.png

要找到两个半功率频率(高于和低于谐振),请将半功率电流代入 E/Z = I,如右图所示。


image.png

由于 R 等于正负表达式,因此每个表达式都等于另一个表达式,如右图所示,一对 ω 将是上半功率频率,另一对将是下半功率频率。



image.png

谐振频率是半功率频率的几何平均值。


将 R 的两个方程相加得到:

image.png

可以看出,电阻越大,带宽越宽。此外,带宽仅取决于电阻与电感的比率。带宽不取决于电容。


现在发现电路的 Q 是:  


image.png

共振时的潜在放大倍数


考虑下图所示的以谐振频率 ω 0供电的 AC 串联电路。


image.png

Q 因子也称为放大倍数。这是因为共振电位之间存在简单的乘法关系。


image.png

在谐振时,

• 电阻器两端具有所有电源电势差,并且

• 电感器和电容器两端具有 Q 倍的电源电势差。


由于 Q 可能是 1000 或更多,电感器和电容器的电源电位可能是它们的 1000 倍!


概括:


当复阻抗为实数时,电路处于谐振状态。

共振的固有频率为: 

image.png

电流和外加电动势之间的相位角为: 

image.png

Q因子为: 

image.png

带宽关系为: 

image.png

共振时的电位为: 

image.png

使用电阻作为带通滤波器的输出: 

image.png

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